Estabilidad y dinámica de modos ópticos en estructuras no lineales, helicoidales y PT-simétricas

Dr. Claudia Castro Castro
2 de Diciembre del 2020

Seminario “Dr. Alberto Rubio” Facultad de Ciencias UABC

Índice

Introducción
- Definición de onda
- Antecedentes
- Fibras ópticas
- Fenómenos ópticos lineales vs no lineales
- Ecuaciones de Maxwell
- ¿Qué significa PT-simétrico?
- ¿Qué significa torcido?
Ecuación de Schrödinger
Dinamica y estabilidad
Conclusiones

Definición intuitiva de onda

Cualquier señal reconocible que se transfiere de una parte del medio a otra con una velocidad de propagación reconocible

Antecedentes

1790s: “Telégrafo óptico” inventado por Claude Chappe Telegrafo optico y sus simbolos

Courtesía de Wikipedia Commons

1840s: Daniel Collodon y Jacques Babinet demostraron que la luz podía guiarse a través de chorros de agua para exhibiciones de fuentes.
Cuando los rayos de luz en el agua golpean el borde del chorro con un ángulo, la reflexión interna total los atrapa en el líquido.
Refracción en la superficie depende de la diferencia en el índice de refracción; cuanto mayor es la diferencia, más refracción

Reflexión interna total (TIR)

Es un efecto secundario de la refracción, la curvatura de la luz que pasa de un material transparente a otro.

$Refraction de vidrio a aire$

Courtesía de Hecht, J. City of Light: The Story of Fiber Optics, 1999

Índice de refracción \[ n=\frac{\text{velocidad de la luz en el vacio}}{\text{velocidad en el material}} \]
Ley de Snell \[ n_1 \sin{\theta_1} = n_2 \sin{\theta_2} \]
Resposable por

Courtesía de Wikimedia Commons

Reflexión interna total (TIR)

Courtesía de Hecht, J. City of Light: The Story of Fiber Optics, 1999

La luz que golpea la superficie casi directamente se refracta en el aire
Hay un ángulo crítico donde no puede emerger al aire, se mide a partir de una línea llamada normal que es perpendicular a la superficie.
Si $ \theta_1 > \sin^{-1}\left(\frac{n_2}{n_1}\right) $ $ \Rightarrow \sin \theta_2 > 1 \;\;(!) $
La luz fuera del ángulo crítico se refleja de nuevo en el cristal.
ángulo crítico $ \theta_c = \sin^{-1}\left(\frac{n_2}{n_1}\right) $ existe solo cuando $ n_2 < n_1 $, entonces TIR ocurre solo dentro del medio con índice más alto

Demonstration of Total-Internal-Reflection(TIR) in a wine glass

Courtesía de Keerthi, CC BY 4.0 via Wikimedia Commons

Inicios de las fibras opticas

Generaciones de artesanos, inventores, ingenieros y científicos desarrollaron la tecnología para hacer vidrio

Es maleablecuando está caliente, así como la transparencia del sólido, lo que lo ha convertido en un material atractivo.
El ingrediente más importante del vidrio común es el dióxido de silicio, un mineral duradero conocido como Sílice/Silica.

1930s: Heinrich Lamm (medico) primera persona conocida que ha demostrado la transmisión de imágenes a través de un arreglo de fibras ópticas

Sin embargo, las fibras descubiertas transmitían imágenes de manera deficiente.

1950s: Van Heel y O'Brien recubren una fibra descubierta con un material de índice menor mantendría la TIR mientras protege la superficie óptica

Fibras revestidas de vidrio tenían una atenuación de aproximadamente un decibel por metro (dB/m), lo que está bien para imágenes médicas, pero demasiado alto para comunicaciones.

Características de las fibras ópticas

$Esquema de fibra optica dielectric y el perfil de indices de refraccion$

Agrawal, Nonlinear fiber optics, Academic Press, 2013

Características de las fibras ópticas

Courtesía de ..

Pertsch et al. Nonlinearity and disorder in fiber arrays. Physical Review letters, 2004

Joannopoulos et al. Photonic crystals: molding the flow of light. Princeton University Press, 2011.

Ecuaciones de Maxwell

La luz es una onda electro-magnética que consiste de un campo eléctrico y un campo magnético oscilando a una taza muy alta ($ 10^{14} $ Hz) viajando en el espacio con una dirección perpendicular a ambos campos vectoriales

\[ \begin{align} \nabla\times\mathbf{E}=&-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\\ \nabla\times\mathbf{H}=&\mathbf{J}+\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}\\ \nabla\cdot\mathbf{D}=&\rho_{v}\\ \nabla\cdot\mathbf{B}=&0 \end{align} \]

$ \mathbf{E} $ campo eléctrico [$ V/m $]
$ \mathbf{B} $ densidad de flujo magnético [$ T $]
$ \mathbf{H} $ campo magnético [$ A/m $]
$ \mathbf{D} $ densidad de flujo eléctrico [$ C/m^2 $]
$ \mathbf{J} $ densidad de corriente eléctrica [$ A/m^2 $]

$ \mathbf{D}=\varepsilon \mathbf{E} $
$ \mathbf{B}=\mu \mathbf{H} $
$ \mathbf{J}=\sigma \mathbf{E} $

Ecuación de onda

El campo vectorial eléctrico satisface la ecuación de onda \[ \nabla^2 \mathbf{E}(\mathbf{r},t)-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}(\mathbf{r},t) }{\partial t^2}=0 \]
Esta ecuación es invariante w. r. t tiempo $ t\rightarrow -t $

Óptica lineal vs no lineal

Lineal : las ondas electromagnéticas inducen una separación de las cargas en el material, es decir, una polarización $ P_L $, la cual es directamente proporcional al campo eléctrico \[ P = \varepsilon_0 \chi^{(1)} E \] donde $ \varepsilon_0 $ es la permitividad del vacío y $ \chi^{(1)} $ es la constante de susceptibilidad.

Interacción de la luz con la materia no modifica las propiedades de onda
Ejemplos de fenómenos ópticos lineales:

Reflexión

Refracción

Photocromia

$ \diamond $ Linealidad es una suposición que solo es válida para bajas intensidades
$ \diamond $ Casi todos los materiales tienen algunos efectos no lineales si la fuente de luz solo es lo suficientemente potente altas intensidades

Óptica no lineal

No lineal: describe el comportamiento de la luz en medios en cual el componente dieléctrico de la polarización responde a la forma no lineal del campo eléctrico de la luz $ E $ \[ P=\varepsilon_0 \chi^{(1)}E + \varepsilon_0 \chi^{(2)}E^2 + \varepsilon_0 \chi^{(3)}E^3+\dots \]

2nd order susceptibility \[ \chi^{(2)} \approx 1.94\times10^{-12}\;m/V \]
3rd order susceptibility\[ \chi^{(3)} \approx 3.78\times10^{-24}\;m^2/V^2 \]
Para fibras de silica $ SiO_2 $ el effecto de segundo orden es despreciable
$ \chi^{(3)} $ está asociada al effecto Kerr
Polarizacion total: lineal + no lineal \[ P(\omega) = \varepsilon_0 \chi^{(1)}E(\omega)+3\varepsilon_0\chi^{(3)}|E(\omega)|^2E(\omega) \]
Effective susceptibility \[ \chi_{eff} = \chi^{(1)}+3\chi^{(3)}|E(\omega)|^2 \]
Está ligada al índice de refracción \[ \bar{n} = 1+\chi^{(3)}=\bar{n}_0 +\bar{n}_2\;I \]

Óptica no lineal: effecto Kerr

Descubierta por John Kerr en 1875
Describe situaciones donde el indice de refraccion depende de el campo electrico como \[ \bar{n}(\omega, |E|^2)=\bar{n}_0(\omega) + \bar{n}_2(\omega)|E|^2 \]
Para silica es $ 1.3\times10^{-22}\; m^2/V^2 $

Derivación de Schroedinger

En medio Kerr el índice de refracción depende de la intensidad del campo eléctrico $ I(t) $ \[ \bar{n}(t)=\bar{n}_0 + \bar{n}_2 I(t), \;\;\;I(t)=2\bar{n}_0\varepsilon_0 c |A(z,t)|^2 \]
y \[ E(z,t)=A(z,t)e^{i(\omega_0 t-\beta _0 z)} \]
Aplicando transformada de Fourier del campo optico \[ E(z,t)=\int_{-\infty}^{\infty} \tilde{E}(z,\omega)e^{i(\omega t - \beta z)} \;d\omega \]
Considerar la expansion de Taylor de la constante de propagacion \[ \beta(\omega) = \beta_0 + \beta _1 (\omega - \omega_0 )+\frac{1}{2}\beta_2 (\omega - \omega_0)^2 + \Delta \beta_{NL} \]
Sustituir \[ \begin{align} E(z,t)=&e^{-i\beta_0 z}\int_{-\infty}^{\infty} \tilde{E}(z,\omega)e^{i\omega t - i\beta_1 z \Delta \omega - i\frac{1}{2}\beta_2 z \Delta \omega^2-iz\Delta\beta_{NL} } \;d(\Delta\omega)\\ =&e^{i(\omega_0t-\beta_0 z)}\int_{-\infty}^{\infty} \tilde{E}(z,\omega_0 +\Delta \omega)e^{it\Delta\omega-i\beta_1 z \Delta \omega - i\frac{1}{2}\beta_2 z \Delta \omega^2-iz\Delta\beta_{NL}} \;d(\Delta\omega)\\ \equiv&e^{i(\omega_0 t-\beta _0 z)} A(z,t) \end{align} \]

Parity-Time table

Fibras torcidas

Fibra optica torcida

$Esqueme de una fibra optica torcida$

Fibra óptica torcida

Gauss's Magnetism Law

Divergence Theorem \[ \iint\limits_S \mathbf{\vec{B}}\cdot d\mathbf{\vec{S}} = \iiint\limits_E (\nabla \cdot \mathbf{\vec{B}})\;dV \]
then \[ \iiint\limits_E (\nabla \cdot \mathbf{\vec{B}})\;dV=0 \]
must be true when
\[ \nabla \cdot \mathbf{\vec{B}} =0 \] divergence of magnetic field is zero